当数学遇到音乐

 2018/07/14 18:05  李近朱 《读者》  (177)    

最近,听到一首以“圆周率”数字为乐谱的钢琴曲,虽奇特,却优美。早在公元5世纪,中国南北朝时期的数学家祖冲之率先计算出“圆周率”小数点后7位的π值。纵观数学史,从公元前20世纪计算出点后一位数,到公元20世纪,计算到点后亿万位数。“圆周率”神奇无限,也让艺术家们着迷。于是,才有了将若干位数演化为音符的奇想。

当数学遇到音乐,会怎样?最直观的是,作为记录音乐的乐谱就以数字为基础:五线谱以高低音符构筑,犹似数字的级进;简谱所用的阿拉伯数字,从1到7,更体现出音乐在数字上的奇妙构成。

“圆周率”的琴声未绝,眼前又浮现出古希腊数学家、哲学家毕达哥拉斯的身影。他认为,“万物皆数”“数是万物的本质”。他将其黄金分割公式置于“万物”之中,并有一个音乐化的表述:太阳、月亮、星辰的轨道,与地球的距离之比,分别等于三种协和的音程,即八度音、五度音、四度音。更进一步,他以声学的物理方式在一条弦上拨一个音,再在两条弦上拨响它的第五度和第八度音。结论是:三条弦的长度之比为6:4:3。通过数学和物理现象之间的联系,毕达哥拉斯认为:音程的和谐与宇宙星际的秩序相对应,音乐亦在“万物皆数”的范畴中。这位数学家对琴弦长度与协和音程关系的演算,为后来音乐的“五度相生律”奠定了基础。

17世纪,在西方巴洛克时期,巴赫的名作《十二平均律钢琴曲集》运用了一个新的音律。这个音律,解析了自然存在的半音关系。从物理学上看,以频率标注的音高,每升高一个八度,频率翻番。比如1975年最终确认的国际标准音A,其震动为440Hz,升高一個八度就是880Hz。然后,从数学上看,将八度音程等分12份,于是,就有了半音。再做计算,相邻半音的频率比为:2的1/12次方。这就出现了音乐上的“十二平均律”。

这些计算,对数学家来说未必高端,但对于艺术家却太过复杂。当然,音乐家不问计算。他们只是感到,带有数学复杂性的半音,丰富了音乐的表现力。严谨的德国人巴赫注意到“十二平均律”的科学与艺术优势,从1722年到1744年,他写了24首钢琴曲,组成两卷本的《十二平均律钢琴曲集》。在纷纭数字的背后,出现了被誉为“音乐圣经”的美妙乐音。

其实,在中国明代万历二十三年(1595年),律学家、历学家、音乐家朱载堉就完成了他的《乐律全书》。其中,就论述到了“十二平均律”。还是在万历十一年(1584年),百年之后巴赫才诞生,这位明朝王子就已经作了“十二平均律”的演算——匀律音阶的音程,可取2的12次方根。这是音乐史上的一个重大发现。来自西方的传教士忙不迭地经丝绸之路,竞相把朱载堉的“十二平均律”带到西方。

巴赫未必知道这位中国王子。但这个音律带来的深远影响,却在西方乐坛焕发出光彩,以至于写出那部“音乐圣经”的巴赫,比中国的朱载堉还要出名。此刻,就连巴赫的乡党、德国物理学家赫尔姆霍茨也不得不公允地说句话了,中国王子朱载堉“在旧派音乐家的大反对中,倡导七声音阶。他把八度分成十二个半音以及变调的方法,是一个有天才和技巧的发明”。而今,“乐器之王”——钢琴大行于世,但西方钢琴制造的原理,却来自于发现“十二平均律”的这位东方科学家。

那么,朱载堉是如何发现“十二平均律”的?答案是:数学计算。他用81档的特大算盘,进行开平方、开立方计算。他提出“异径管说”,设计并制造了弦准和律管,使十二乐音相邻的两个音,增幅或减幅相等。艰苦的探究破解了音乐史上的难题,横空出世的一个数学公式:2开12次方,为“十二平均律”奠基。朱载堉在数学界和音乐界竖起了一座里程碑。

中国律学专家黄翔鹏先生说:“‘十二平均律’不是一个单项的科研成果,而是涉及古代计量科学、数学、物理学中的音乐声学,纵贯中国乐律学史,旁及天文历算并密切相关于音乐艺术实践的、博大精深的成果,是世界科学史和艺术史上的一大发明。”英国著名学者李约瑟认为,朱载堉是“世界上第一个平均律数字的创建人”,是“中国文艺复兴式的圣人”。

当数学遇到音乐,无序的自然之声成为有序的音乐之声,让原始声音演化为有律乐音。于是,从玄妙的数学世界走到美妙的艺术世界,数学让音乐更美丽。

我们发现,以枯燥演算得出的“十二平均律”经典公式,催生出许多美丽的音乐。巴赫的《十二平均律钢琴曲集》与其说是一个科学的数字排列,不如说是一次绝美的数学艺术的演绎。其中,开篇第一首“C大调前奏曲”,虽只运用自然音体系的三和弦与七和弦,却有着极致的优美,以至于让后人以它作为典雅高洁、流畅动听的圣歌《圣母颂》的钢琴伴奏。

在醉人乐声响起的那一刻,数学与音乐合成一道绚烂的霓虹——这就是当数学遇到音乐时,两个领域共同焕发出的全部魅力。

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